Обновил сервер с Debian 8 (Squeeze) до Debian 9 (Stretch).
Хотел сразу перейти на Debian 10, но на OpenVZ-тарифах он не поддерживается из-за различий требования к ядру.
К слову, в Debian 9 теперь nginx версии 1.16.1, что позволило нормально перейти на HTTP/2.